یادداشت‌ها

پارادوکس یا متناقض‌نما یعنی چه؟

به لحاظ لغوی ریشه کلمه پارادوکس (Paradox)، از کلمه یونانی پارادوکسون (Paradoxon) است که آن نیز خود از دو بخش تشکیل شده: پیشوند پارا (Para) به معنی متفاوت و کلمه دوکسا (Doxa) به معنی نظر/عقیده. به عبارتی پارادوکس یعنی نظر مخالف و به طور کلی هر جمله و گزاره‌ای که برخلاف منطق خود جمله و یا منطق مورد انتظار باشد، پارادوکس گفته می‌شود.

چند نوع پاردوکس داریم؟

بستگی به این دارد که چطور آنها را دسته بندی کنیم؟ یک روش دسته‌بندی معروف انواع پارادوکس، روش ویلارد کواین است. کواین پارادوکسها را به ۳ دسته کلی تقسیم می‌کند که عبارت‌اند از:

 

1- مغلطه آمیز (Falsidical)

پارادوکس‌هایی که ظاهری گیج کننده و منطقی دارند، اما باطن آنها نادرست است. در این پارادوکس‌ها، میزان دانش فردی یا جمعی، تعیین کننده پارادوکس خوانده شدن یک گزاره یا استدلال است. به عنوان مثال به موارد زیر نگاه کنید:

الف) پارادوکس اثبات ۱=۲

فرض بگیرید X=1 است. هر دو طرف را در X ضرب کنید. سپس در معادله جدید (X2=X)، از دو طرف 1 واحد کم کنید. در مرحله بعد عبارت X2-1 را به (X+1).(X-1) تجزیه کنید. سپس ۲ طرف معادله جدید را بر (X-1) تقسیم کنید تا X+1=1 به دست آید. با جای‌گذاری مقدار X=1 در این عبارت، به عبارت ۱=۲ می‌رسیم.

مشکل این استدلال کجاست؟

با توجه به این که مقدار X=1 است و در نتیجه X-1=0 می‌شود، این اثبات در مرحله (۵)، با تقسیم (X-1) بر (X-1)، در حال انجام تقسیم صفر بر صفر است که مفهومی تعریف نشده در ریاضیات دارد و نمی‌توان با این تقسیم به ۱ رسید!

 

ب) پارادوکس‌های زنو

آشیل تصمیم می‌گیرد با یکی از کندترین رقبای خود، لاک پشت، مسابقهٔ دو بدهد. او لطف می‌کند و می‌گذارد لاک پشت از نقطه ای جلوتر از او مسابقه را شروع کند. وقتی آشیل از نقطهٔ شروع خود حرکت می‌کند، لاک پشت قبلاً یک مسافتی پیش رفته‌است و مدتی طول می‌کشد، البته نه خیلی زیاد، تا آشیل به نقطه ای برسد که لاک پشت حرکتش را از آن جا شروع کرده‌است مسلماً تصور می‌کنیم آشیل، تیزپاترین دونده در میان یونانیانِ اعزام شده به تروا، بیش از این عقب نخواهد ماند: هر چقدر هم مسیر مسابقه کوتاه و فاصلهٔ اولیهٔ لاک پشت از آشیل زیاد باشد، آشیل باید زودتر به خط پایان برسد. اما در واقع این‌طور نیست؛ زیرا مدتی طول می‌کشد تا آشیل به نقطه ای برسد که لاک پشت از آن جا راه افتاده، و لاک پشت در این مدت خود را کمی جلو کشانده اشت. زمانی که آشیل به آن نقطه برسد، لاک پشت جلوتر است. پس آشیل به سمت نقطه ای می‌دود که لاک پشت از آن جا راه افتاده و لاک پشت در این مدت خود را کمی جلو کشانده‌است. زمانی که آشیل به آن نقطه برسد، لاک پشت جلوتر است. آشیل مثل سایه لاک پشت را تعقیب می‌کند، اما زمانی که به نقطه ای می‌رسد که لاک پشت بوده، لاک پشت باز هم اندکی جلو رفته‌است و آشیل هنوز به او نرسیده‌است این ماجرا تا ابد ادامه می‌یابد، زیرا همواره مدتی طول می‌کشد تا آشیل فاصلهٔ میان خودش و لاک پشت را طی کند، و هر قدر هم که لاک پشت کند حرکت کند بخشی از مسافت را در زمان حرکت خود طی می‌کند و دیگر در نقطهٔ قبل نیست و از آن نقطه جلوتر است. پس به هر حال هر چقدر هم این زنجیره را ادامه دهیم، آشیل هرگز به لاک پشت نمی‌رسد، چه رسد به این که از او جلوتر بزند. پس مسلماً وقتی که مسابقه در نهایت به پایان می‌رسد، لاک پشت از آشیل جلوتر است. به زبان دیگر فاصله بین لاک پشت و آشیل را می‌توان بی‌نهایت بار تقسیم کرد و آشیل هر بار فقط کسری از آنها را طی می‌نماید.

مشکل این استدلال کجاست؟

اگرچه پارادوکسهای زنو را می‌توان در عمل رد کرد و با انجام یک مسابقه بین یک دونده و یک لاک پشت اشتباه بودن آن را نشان داد، اما مشکل، حل آن از لحاظ ریاضی است. اگر چیزی آنقدر بدیهی است چرا نمی‌توانیم به لحاظ ریاضی آن را ثابت کنیم؟ زنو این نوع پارادوکس‌ها را در حدود ۲۵۰۰ سال قبل مطرح کرد و مشکل تا همین چند قرن اخیر هم وجود داشت تا بالاخره متوجه شدیم مجموع یک سری بی‌نهایت و نامتناهی (مانند تقسیمات زنو برای مکان یا زمان) می‌تواند مقداری محدود و متناهی داشته باشد یعنی یک سری همگرا: (1/2+1/4+1/8+16+1/32+…. = 1). یعنی به لحاظ ریاضی هم می‌توان نشان داد که آشیل می‌تواند در نقطه‌ای مشخص به لاک پشت برسد و از آن عبور بگیرد.

به عنوان مثالهای بیش‌تر از این پارادوکس، می‌توان به پارادوکس حد و پارادوکس همه اسب‌ها یک رنگ هستند، اشاره کرد.

2- حقیقی (Veridical)

پارادوکس‌هایی که ظاهرا غیرمنطقی و اشتباه هستند، اما در واقع درست هستند.

الف) پارادوکس مانتی هال

پارادوکسی که متخصصین هم در ابتدا به درست بودن آن شک داشتند! تصور کنید پیش روی شما سه در وجود دارد. در پشت یکی از این درها جایزه و در پشت دو در دیگر هیچ چیزی قرار ندارد. شما یکی از درها را انتخاب می‌کنید، به عنوان مثال در شماره ۳. با این حال قبل از این در شماره ۳ را برایتان باز کنند، دست اندرکاران در شماره ۱ را باز می‌کنند و به شما نشان می‌دهند که چیزی در پشت آن وجود ندارد و به شما می‌گویند که حالا شما می‌توانید انتخابتان را عوض کنید (یعنی در شماره ۲ را انتخاب کنید) یا روی همان در شماره ۳ بمانید. شما باید چکار کنید؟ شانس انتخاب در صحیح، از بین دو در باقی مانده، ۵۰٪ است، پس نباید فرقی داشته باشد که کدام در را انتخاب می‌کنیم (نباید فرقی داشته باشد که انتخابمان را تغییر بدهیم یا ندهیم). اما مطابق این پارادوکس شما باید انتخاب خودتان را تغییر دهید و در شماره ۲ را انتخاب کنید تا شانس بیشتری برای برنده شدن داشته باشید!

چرا چنین استدلالی درست است؟

در ابتدا ما ۳ در داریم که شانس درست بودن هرکدام یک سوم یا ۳۳/۳۳٪  است. این یعنی وقتی شما دری را انتخاب می‌کنید شانس درست بودن آن فقط یک‌سوم و شانس نادرست بودنش دو سوم است. برای دو در دیگر در مجموع، شانس برنده بودن دو سوم است که یعنی احتمال درست بودن یکی از دو در دیگر بیشتر از در انتخابی شما است. در نتیجه کاملا منطقی است که که وقتی مجریان یکی از دو در دیگر را برای شما باز می‌کنند شما با تغییر انتخاب خود به در دیگر، شانس برنده شدن خود را افزایش دهید چرا که در دیگر جزیی از ۲ دری بوده است که از ابتدا مجموع شانس درست بودن آنها دو سوم بوده است. به زبان ساده‌تر، دیگر با حالت ۵۰:۵۰ روبرو نیستید و شانس در اولی که انتخاب کردید هنوز همان ۳۳/۳۳٪ است اما شانس در دیگر ۶۶/۶۶٪ است (چون شانس در حذف شده را هم باید به آن اضافه کنید)!

به عنوان مثالهای بیش‌تر از این پارادوکس، می‌توان به پارادوکس گربه شرودینگر و پارادوکس گرند هتل هیلبرت، اشاره کرد.

3- خودمتناقض (Antinomy)

پارادوکس‌هایی از این دست ذاتا متناقض به نظر می‌آیند. پارادوکس‌هایی که نه می‌توان آنها را اشتباه و نه درست پنداشت!

الف) پارادوکس دروغگو

یکی از مثالهای معروف این نوع پارادوکس دروغگو است، پارادوکسی از نوع پارادوکس‌های خودارجاع‌دهنده که به گونه‌های مختلف می‌توان آن را بیان کرد. یک فرم معروف آن به این صورت است:

اپیمندس که اهل کرت است، می‌گوید: همه اهالی کرت دروغگو هستند!

جمله‌ای که اپیمندس می‌گوید راست است یا دروغ؟
۱- اگر راست باشد، آنچه می‌گوید درست است، پس درست می‌گوید که اهالی کرت (یعنی خودش) دروغ می‌گوید، پس جمله دروغ است. این در حالی است که ابتدا فرض گرفتیم که جمله راست است، پس این جمله هم راست است و هم دروغ.

۲- اگر دروغ باشد، از آن‌جا که خودش هم به دروغگویی خود اشاره می‌کند؛ جمله راست است و باز این در حالی است که ابتدا فرض گرفتیم که جمله دروغ است.

نتیجه: در هر دو حالت (چه در ابتدا آن را راست در نظر بگیریم و چه دروغ) به نظر می‌رسد که در نهایت این جمله هم راست است و هم دروغ.

به عنوان مثالهای بیش‌تر از این پارادوکس می‌توان به پارادوکس آرایشگر راسل و پارادوکس گرلینگ-نلسون (Grelling–Nelson)، اشاره کرد.

 

جمع بندی

پارادوکس‌های از نوع مغلطه‌آمیز و حقیقی در واقع برای افرادی که نمی‌دانند، پارادوکس محسوب می‌شوند و به عبارتی سطح دانش یک فرد یا جامعه تعیین می‌کند که مواردی از این دست را پارادوکس بدانند یا خیر، اما پارادوکس‌ نوع سوم ذاتا خودمتناقض است، یعنی برای همه پارادوکس محسوب می‌شود. با این حال، موضوعی می‌تواند زمانی برای ما پارادوکسی خودمتناقض به نظر برسد اما بالاخره روزی برسد که مغلطه آمیز بودنش آشکار شود. برای مثال برای حدود ۲ هزار سال پارادوکسهای زنو، پارادوکس‌هایی خودمتناقض در نظرگرفته می‌شدند تا این که پاسخ آن‌ها را یافتیم و متوجه شدیم آنها پارادوکس‌هایی از نوع مغلطه‌آمیز هستند. این خود نشان می‌دهد که حتی پارادوکسهای خودمتناقض نیز، به دانش ما مربوط هستند چرا که ما با دانش خود به آنها برچسب خودمتناقض زده‌ایم و شاید روزی بیاید که بسیاری از پارادوکسهای خودمتناقض امروزمان مانند پارادوکس خورشید جوان کم‌نور (Faint young Sun) که ذهن دانشمندانمان را دیگر کرده است، به سرگرمی‌های مغلطه‌آمیز کودکان در اوقات فراغتشان تبدیل شود!

نویسنده: Blue Jack